高等部泉中央教室
盆休4日目，どうも紫竹です．
これを書いている今は8月10日です．
5日先に何が起きているかなど全くわかりません．
やっぱり雨が降っているのでしょうか．
そういう予報ですからね．
でも最近は天気予報があまり当たりませんね．
大変よろしいのではないでしょうか．
では，今日も数学で空白を埋めます．
2つの正の整数a，bの最大公約数をG，最小公倍数をLとするとき，
L^2－G^2＝72
が成り立つ．このような正の整数の組（a，b）をすべて求めよ．
横浜市立大学2021年の問題です．
いかがでしょうか．
それではいきます．
a＝GA，b＝GB（AとBは互いに素である自然数）とすると， L＝GAB と表せます．
よって与式は (GAB)^2－G^2＝72 ですから，
G^2((AB)^2－1)＝2^3・3^2 と変形できます．
ここで，G^2は平方数，(AB)^2－1は整数であることから，
G^2＝1，2^2，3^2，2^2・3^2 のいずれかに限られます．
これらのG^2の値に対して
(AB)^2－1＝72，18，8，2 となるわけですが，
(AB)^2は平方数ですから，(AB)^2－1＝8，すなわち AB＝3 に限られます．
このとき G＝3，{A，B}＝{1，3} ですから，
(a，b)＝(3，9)，(9，3) と求まりました．ありがとうございました．
ずいぶん易しい問題に見えるわけですが，
このレベルの問題でも実際には十分差がつくものです．
「一発勝負の試験」というのはこういう
「普通に解ける問題を普通に解けるかどうか」
で勝敗が決まります．
難問ばかりやるのではなく，基礎基本を盤石にしていきたいですね．
あすなろ学院はそういう塾です．
今日の拉麺は 酔拳『坦々刀削麺』 です．
本当に美味しいです．野菜たっぷり，ゴマたっぷり．
ランチはギョーザが安くなっているのでこちらもおすすめです．
酔拳の餃子はもしかしたら世界一ウマいかもしれません．
ご馳走様でした．
今日の音楽は 人間椅子『杜子春』 です．
ギターソロ格好良い！SGが似合いますね．流石．
高等部泉中央校 紫竹